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国际电气、电子和仪器工程高级研究杂志

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时滞不确定性系统鲁棒控制的Lmi方法

Shyma穆罕默德1，亚伯拉罕·T·马修博士2
  1. 研究学者电气工程，印度卡利卡特国家理工学院
  2. 教授电气工程，印度卡利卡特国家理工学院
有关文章载于Pubmed，谷歌学者

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摘要

时滞系统的控制一直是困扰控制工程师的难题。这些问题已经引起了许多研究者的注意，特别是在鲁棒控制的背景下。这是由于许多过程在相应的模型中存在时间延迟，因此控制器的设计在计算上变得相当复杂。时滞系统普遍存在于许多工程系统中，如远程机器人系统、车辆队列、生物系统、化学过程等。这些系统中存在的延迟使得闭环稳定变得困难，并降低了跟踪性能。当模型和延迟参数都存在不确定性时，这个问题变得极其困难。通常情况下，由于传输现象、生成控制命令所需的计算时间、智能测量设备中的时间延迟、高阶系统与低阶模型的近似等各种因素，系统模型中会出现延迟。本文研究了线性变时滞系统的鲁棒控制问题。此外，本文还提出了一种同时考虑系统不确定性和控制器不确定性的不确定线性时滞系统的控制方法。

关键字
LMI控制，时滞系统，鲁棒控制，不确定性，稳定性。

介绍
在许多机械和电气系统中，时间延迟通常是不可避免的。延迟的存在通常对连续系统和离散系统中可实现的反馈性能施加严格的限制。可以看到，时间延迟在各种技术系统中经常遇到，如电力，气动和液压网络，化学过程，长传输线，机器人等[1]。纯时滞的存在，无论它是否存在于控制或/和状态中，都可能导致不良的系统瞬态响应，甚至不稳定。因此，这类系统的可控性、可观测性、鲁棒性、优化、自适应控制、极点配置，特别是稳定性和鲁棒镇定问题，在过去几十年里一直是科学家和研究人员感兴趣的问题。延迟通常产生于部件的物理分离，通常表现为被操纵变量的变化与其对设备的影响之间的延迟或输出测量的延迟。这意味着，我们发现一个事件在时间上发生的瞬间和对它的测量已经达到所需的程度之间存在时间延迟。对于这样的系统[3]，死区时间元素是需要精确建模的。控制系统中的数字计算机还引入了死区元素对系统固有计算延迟建模的必要性。延迟的存在使设计过程变得复杂，因为它使连续系统变得无限维，并且显著增加了离散系统的维数[4]。
在需要对压力、流量、液位、温度等物理变量进行操作的过程控制领域中，系统是迟滞的，处理这些过程变量的子系统之间的信号流存在时滞。这些因素导致死区效应[5]。即使在没有纯死时间元素的情况下，由于系统动力学的高阶，过程的复杂性也经常会导致响应，它具有纯死时间元素的外观。对如此复杂的系统建模是一项非常困难的任务。然而，世界各国控制科学家多年的经验和数十年的研究证明，基于近似过程模型的控制器是非常通用的。但是，当建模不确定性、输入扰动、设定值变化和参数不确定性存在时，仍在继续努力设计新的控制器，以同时满足鲁棒稳定性和鲁棒性能。
同样，在涉及关键任务的系统(如飞机、化学过程控制系统)中，时滞通常出现在状态、控制输入或测量值[6]中。与常微分方程或简单传递函数不同，这样的系统本质上是无限维的，在频域[7]可能是不稳定的，具有非最小相位性质。准确地说，时间延迟也可能存在不确定性。因此，时滞不确定性控制系统的稳定性和性能问题具有重要的理论意义和实际意义。在过去的几十年里，许多研究者在不确定时滞系统的分析和综合方面投入了大量的精力。在李雅普诺夫稳定性等基础上，提出了处理时滞、有限维稳定和镇定充分条件的各种技术。与经典的线性有限维技术不同，新方法同时考虑了状态方程的延迟以及系统参数和时间延迟的不确定性。在早期阶段，获得了延迟无关的结果，保证了所得到的解的稳定性和规定的性能水平。最近，延迟相关的结果已经得到，大大减少了延迟无关的解决方案所涉及的过度设计。对于时滞系统的控制，已经提出了不同的方法[9-10]，但这些方法要么过于复杂，无法实现工业应用，要么无法控制具有很长时滞的不稳定系统。
本文提出了变时滞系统和不确定线性时滞系统的线性矩阵不等式(LMI)控制方法。通过数值算例验证了该控制器的有效性。在之前的时滞系统中，我们使用了改进的smith预测器控制器[11]，该控制器对根位置、延时等的变化很敏感。但在采用LMI技术的该方法中，控制器对时滞不敏感。与[9-10]中的方法不同，该方法适用于具有非常长延迟的系统
本文的其余部分组织如下:第二节处理线性和不确定时滞系统的系统描述和问题的制定。第三节讨论设计方法，第四节专门给出数值例子。第五节给出了仿真结果及分析。最后，第六节对本文进行了总结，并给出了所使用的参考文献。

2系统描述和问题表述
考虑一个由状态方程描述的连续线性变时滞系统
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3设计方法
首先，我们可以找到控制输入和外部扰动为时系统(1)的线性矩阵不等式
0。则状态Eqn(1)退化为齐次系统
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四、仿真结果与讨论
控制器由LMI求解器[15]合成，图2为时延0.1秒时系统(1)的开环响应，图3为相同时延时系统的闭环响应。从图中可以看出，给定的系统在没有控制器的情况下是不稳定的，而在有LMI控制器的情况下是稳定的。从图3可以看出，当延时为0.1 sec时，沉降时间为47 sec，稳态误差分别为-0.0317和0.00194。然后将延时从1秒增加到190秒，得到相应的最大沉降时间和稳态误差。与前面的例子一样，这里也可以看到，没有控制器时系统是不稳定的，而有控制器时系统是稳定的。表1给出了不同时延值下Eqn(1)表示的系统性能指标。
在表1中，第(1)列显示了时间延迟。假设时间延迟从0变化到190秒。第(2)列表示相应的沉降时间值，第(3)列表示相应的稳态误差。可以看出，当时延从1 sec增加到10 sec时，沉降时间从49.5 sec增加到78 sec，但稳态误差不变。再次可以看出，当时延增加到20 sec和100 sec时，对应的沉降时间分别为114 sec和428 sec。我们可以看到，当延时增加到160 SEC时，沉降时间减小到204 SEC，稳态误差分别减小-0.0281和0.00125。从表1可以看出，随着时间延迟的增加，沉降时间也增加，在特定的延迟后，沉降时间减少。我们可以再次看到，在较高的延迟值时，稳态误差变为零或接近于零。在较大的延迟值下，非零误差保持不变。
图4和图5分别为给定不确定系统(2)在扰动衰减界()分别为1和0.5的不同延迟值下的闭环响应。可以看出，随着值的增大，稳态误差减小，而稳定时间增大。
图4给出了给定不确定系统在不同时延(分别为0.1秒、0.5秒、1秒、10秒、20秒、100秒)下扰动衰减界为1的闭环响应。从图4可以看出，当延迟为0.1秒时稳态误差很大，而当延迟为100秒时稳态误差很小。
图5给出了给定不确定系统在不同时延(分别为0.1秒、0.5秒、1秒、10秒、20秒、100秒)下扰动衰减界为0.5的闭环响应。这里还可以看到，对于0.1秒的延迟，稳态误差很高，而对于100秒的延迟，稳态误差很小。再次可以推断，随着值的增加，输出响应的超调量也会增加。

结论
本文讨论了线性变时滞系统的LMI控制问题。针对线性时滞系统中存在不确定性的对象和控制器，提出了一种鲁棒∞控制器。采用LMI算法得到鲁棒控制器。利用MATLAB中的LMI求解器求解不等式[16]。对系统进行了变时延分析。在线性变时滞系统的情况下，可以看到，随着时滞的增加，沉降时间也增加。但经过特定的延迟后，沉淀时间会减少。我们可以再次看到，在较高的延迟值时，稳态误差变为零或接近于零。在较大的延迟值下，非零误差保持不变。在不确定时滞系统的情况下，可以看到，对于小时滞，稳态误差较高，而对于大时滞，稳态误差较小。同样可以推断，随着扰动衰减界值的增加，输出响应的超调量也增加。 The proposed LMI controller would give good performance to systems with uncertainty in time delay.

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图1 图2 图3 图4 图5
图1 图2 图3 图4 图5

参考文献
















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