更仔细的观察到矩形代码:奇偶校验主导

露美巴纳吉^{* 1},Saptarshi Naskar²森和萨玛Sarma³

加尔各答大学计算机科学与工程系,加尔各答,印度西孟加拉邦
计算机科学系,Sarsuna学院,加尔各答,印度西孟加拉邦
加尔各答大学计算机科学与工程系,加尔各答,印度西孟加拉邦

通讯作者:Banerjee露美,电子邮件:rm.banerjee@gmail.com1

文摘

信息传播„白噪声的存在?容易出错,但不是一样难以捉摸的任意噪声通道。对这一限制,奇偶校验是唯一可行的错误处理方案,可以采用,至少,任何intra-system数字通信(例如,所有现有的计算机系统使用ASCII码);而重复的消息(例如一式三份传输方案)并不是一个可行的选择。在本文中,我们提出简单的算法明显证明二维的更大的实际效率奇偶校验„矩形基础编码系统?框架——而不是„广场的概念建立代码?变得更有效率。这些算法是由定理,进一步证实了假设和实验结果相关联。较低的和的上界算法显然是解释说。

关键字

二维代码,效率、奇偶校验、矩形代码,代码冗余,广场

介绍

数字计算机是基于二进制代码和数字通信需要无错传输的比特。ShannonA¢A年代熵定理提供了一种理论视角„的informationA¢由这些代码以及下界的平均码长[1],[2]。

的奇偶校验的错误处理中扮演最重要的角色的消息,至少任何内部系统数字通信。一个典型的例子使用奇偶校验的ASCII编码的传输所有现有计算系统——ASCII码编码字母,如键盘编码器,在人类之间的通信和计算系统。有效的奇偶校验系统采用二维编码方案因异常错误处理(单纠错和双重错误检测)的属性。

在本文中,我们限制我们的讨论研究二维编码的效率,在广场和矩形框架。在[1]和[2]广场清楚地描述代码„理论上更efficientA¢,我们的研究证明了矩形代码几乎肯定„最efficientA¢——相比其他多维编码系统(让人想起哲学组织计算机体系结构的二维RAM)。

我们建议在这里,一个简单,但独特的逻辑建立更大的矩形代码的实际功效。讨论综合症计算,一式三份传输等过程是非常的舞台。摘要始于一个洞察工作背后的灵感,后跟一个讨论的数学基础研究。这篇文章然后继续阐述我们建议的逻辑。

最初的灵感

校验和综合症评估和奇偶校验数字传输系统的典型错误处理方案。校验和允许误差检测,但没有纠错;虽然综合症评估和奇偶校验检查许可证——前者,价格高冗余的小消息。

因此,在无错的数字intra-system通信的光,在消息的长度字节的顺序,奇偶校验和研究二维编码是必修课。主要是关注这些所涉及的冗余编码系统的评价。冗余导致一定程度的代码的效率;更大的冗余,降低效率,反之亦然。

我们的浓度,本文完全没有错误的数字intra-system通信,必然地二维正方形和矩形编码的效率。

数学基础

本节重点介绍主题讨论数学的先决条件。

校验位的评估:

给定消息的(n - 1)位,随之而来的校验位是„1 a¢或„0 a¢,附加到M,这样的n位消息的总数是偶数(偶同位)或奇数(奇校验)。因此,奇偶校验位的评价要求数量的一个计数的给定的消息。

流行的算法计算的数量的一个n位信息(说,B)如下[4]:

线性技术:涉及一点点地检查和随后的数出现的次数„1 a¢的消息。显然这个算法时间复杂度为O (n)和空间复杂度O (1)。

b。迭代交叉技术:包括迭代b = (b∩(b - 1)),直到b降低为0。该算法时间复杂度为O (c) (1 c =数量的„¢s)和空间复杂度O (n)。

c。分治法求和技术:基于二叉搜索方法和算法时间复杂度为O(为log2n)和空间复杂度O (n)。

d。外观:表技术:遵循contentaddressing方法,其中一个输入的十进制数作为地址对应的bit-sum查表条目。该算法时间复杂度为O(1),但空间的复杂性O (2 n)。

一旦„数量1 A¢s (m)信息统计,校验位= m模量2。

所有的四个算法:

)线性技术,尽管是最慢的,是最简单的,是可以接受的所有实用目的;

b)迭代交叉技术是理想的稀疏的字符串和只能用于如果足够的内存可用;

c)分治法求和技术,虽然优雅,有一个相当复杂的实现策略,取决于可用的内存。

d)来看,表技术是最快的算法,但需要一个奢侈的内存数量。

注意:使用并行算法计算的数量,减少了奇偶校验评价一个O(1)操作。

冗余2 -维矩形,正方形编码[1],[2]:

在矩形的代码表示一个n位消息,消息的比特被安排在一个矩形(p (x),在(p *) = n。一个奇偶校验位是附加到每一行和每一列的,将原来的矩形(p (x)转换为一个[(p + 1) x (q + 1)]矩形。冗余(Rrect)因此等于:

而且,

冗余比特总数=数量的奇偶校验

位= p + q + 1 (2)

现在,情况下,矩形的方法一个广场(,p =),即n是一个完美的平方,冗余(Rsq)显然=[1]使用方程:

冗余比特总数=奇偶校验比特数= 2 p + 1(4)显然,对于一个给定的价值„nA¢,哪里„nA¢是一个完美的平方,有多个因素(除了1,„nA¢和n),方程1和2时达到最小值等于方程3和4分别。

广场和矩形相关的冗余代码,在方程2和4,评价是通过情节可视化的图1所示。广场的代码确实显示了所有值最小冗余的„nA¢——„nA¢是一个完美的正方形。在图1中,形成矩形代码块使用任何随机因素对„nA¢和这段代码等同于广场代码只有在„nA¢没有1以外的其他因素,„nA¢和n。

矩形广场代码和代码负责[1]- [3]:

。检测偶数位的错误,在单个行(每一列都有一个单独的在错误)或单个列(每行只有一个错误)。

b。的任意数量的奇数位校正误差,在单个行(每一列都有一个单独的在错误)或单个列(每行只有一个错误)。

提出了逻辑的细节

前一节的结果理论上广场和形象的描述代码比矩形更高效的代码。显然,这些结果认为:1)„nA¢是一个完美的平方,因此直接兑换的矩形,正方形形式,和2)校验位(s)是唯一因素冗余。然而,在一个更深的考试很明显,可兑换的n位消息(M)这些2维条码完全取决于是否„nA¢是一个完美的平方,'或composite-non-square整数。这个观察表明,将冗余的第二个因素——的数量„0一个¢s需要附加到M提高„nA¢到数量直接可变形的正方形或长方形的密码。如果„nA¢不是一个完美的平方,M的转换成一个正方形代码依赖于其距离最近的完全平方整数,如方程8所示。然而,M的转换成矩形代码需要追加,最多一个„0 a¢来消息只有„nA¢是质数(n > 2)(两个„0¢年代需要附加只有n = 2]。

这些事实导致的结论是,矩形代码,几乎总是,取代广场代码在效率方面,给出任意n位信息。这个推理的基础。此外,考虑intra-system数字通信系统及其限制消息的长度,将任何无关的冗余无疑是不必要的。因此,所有的上下文中研究了冗余无疑是重要的。

本节介绍我们的研究——微妙的数学细节,算法和实验结果,推测了矩形编码的范围。

给定一个n比特的信息

假设1。假设系统利用任何标准的算法测试如果„nA¢'还是一个完美的平方以及评价因素的„nA¢[5],[6]。的因素„nA¢遵循方程5。这些测试本质上是预处理步骤,这些算法的复杂性,尽管影响整个的执行时间2 -维编码系统,并不特别影响我们关注的领域——奇偶校验和二维编码的效率。因此,这些算法的复杂性不特性在随后的讨论。

假设2。系统利用线性计算的数量1„¢年代来评估给定消息的奇偶校验位。

假设3。系统时间常数添加一个0到消息。

广场的形成代码算法,给出一个n位信息:

算法:

输入:消息M n -位

输出:M的平方码

步骤:

找到根。(„rootA¢)的n

(根= n)

b。n是一个完全平方吗?

(如果2 > n(根),然后添加((根)2 - n)冗余0 M,这样修改后的M(根)包含2位)

c。安排M(根x根)广场代码组织(第一组„rootA¢A连续的形式组织的第一行,下一组„rootA¢row2连续位M形式,直到形成rowroot等等。)

的奇偶校验位d。评估每一个行和列,(根x根)的组织和附加的奇偶校验位分别对应的行和列。(包含后的奇偶校验位,M的平方码。形成了广场的尺寸代码:(根+ 1)x(根+ 1)。)

e。停止

冗余的计算算法引入消息:

我。计算n的平方根(sqr),

在那里,sqr = n

二世。如果[(sqr) 2 > n]

然后

a r = (sqr) 2, r =新消息长度。

b s = r - n, s = 0附加到原始消息的数量,这样(s + n) = r。

其他的

s = 0

三世。使用方程3、冗余(Rsq_q) =

和使用方程4,

实际的总数冗余比特

= s +奇偶校验位的总数

= s + (2 * sqr + 1) (11)

,年代在于范围规定不平等9。

算法分析:

使用假设1、2和3,我们得出以下结果:

一。时间附加冗余0

=时间附加一个零*数量的冗余0

= (1 * (s)。啊,(s) (12)

b。时间计算奇偶校验位

=[时间来评估广场的行代码的奇偶校验位的奇偶校验位+时间来评估列广场的代码)

的奇偶校验位=(时间评估单个行*的行数)+(时间评估单个列的校验位*列数)=(在一个单一的比特数行*的行数)+(在一个单一的比特数列*列数)

现在,经过行(列)的奇偶校验位计算,列(行)的奇偶校验位需要评估的奇偶校验位(sqr + 1)列(行)。因此,方程13相当于:

在最好的情况下,s = 0,算法的时间复杂度降低,在方程14。在最坏的情况下,当s = 2我(因为不平等9),算法的时间复杂度是包容性的术语和相当于[3 2 n + O (2 i + n2)]。

算法形成的矩形代码,给定一个n位信息:

算法2:

输入:消息M n -位

输出:M的矩形代码

步骤:

一。n是一个合数吗?

[如果n是质数和n = 2,然后添加两个冗余0 M,这样修改后的M包含4位和n = 4

其他的

如果n是质数和n≥3,

然后添加一个冗余0 M,这样

修改后的M包含(n + 1)比特和n = (n + 1)]

b。因式分解n p和q到它的因素

[p和q遵循方程5]

c。安排M (p (x)的矩形代码组织

(第一组„qA¢连续M形式组织的第一行,第二组„qA¢连续的M row2形式,等等,直到rowp形成)

的奇偶校验位d。评估每一行和每一列(p (x)组织和附加的奇偶校验位分别对应的行和列。(包含后的奇偶校验位,M的矩形代码。形成的矩形的维数的代码是:(p + 1) x (q + 1)。

e。停止

计算算法的冗余引入消息2:

如果n是一个质数,我。

如果(n≥3)。

s = 1, s = 0附加到消息的数量。

b。如果(n = 2),

那么s = 2,

其他的

s = 0

二世。r = (n + s), r是新消息长度和r是合成的。

三世。分解p和q r的因素,根据方程5。

第四,使用方程1,冗余(Rrect_q) =

和使用方程2

实际的总数冗余比特

= s +奇偶校验位的总数

= s + p + q + 1) (17)

,s = 0(如果n是复合),1(如果n是一个质数≥3),2(如果n = 2)。

分析算法的二世:

使用假设(1)、(2)和(3),我们得出以下结果:

时间添加多余的零

=时间附加一个零*冗余0的数量= (1 * s)。O (s) (18)

b。时间计算奇偶校验位

=[时间来评估矩形的行代码的奇偶校验位的奇偶校验位+时间来评估列矩形代码)

的奇偶校验位=(时间评估单个行*的行数)+(时间评估单个列的校验位*列数)

=(在一个单一的比特数行*的行数)+(在一个单一的比特数列*列数)

现在,经过行(列)的奇偶校验位计算,列(行)的奇偶校验位需要评估的奇偶校验位(q + 1)列(p + 1)行。因此,方程19日

推理:

对于一个给定的n位信息,从方程10-21我们推断如下:

10和11承认。方程稀疏分布的完全平方整数自然数空间。提高任意值„nA¢其最近的完全平方整数,确实是一项昂贵的操作。

b。方程10和16只产生相等的结果如果p = = sqr,即。,当„nA¢是一个完美的正方形。(这与[1]中的结果一致——解释说在前面的部分)。

c。方程16日和17日收益率较低的值分别为10和11比方程,当„nA¢不是一个完美的平方,即(sqr2) > (n)。

15 - 21 d。方程强调算法的时间复杂性提出了广场和矩形代码构造,分别。2维条码,矩形框架,显然是最优的。

在这一节中描述的研究,基本上概括形成的正方形和长方形代码对于任何给定的n位数字字符的信息——无论„nA¢。

所有上述相应的扣除,因此,可怕地证明矩形代码的编码方案,包含最低冗余,因此,实际上最„efficientA¢二维代码。进一步的推论是由图2和图3。

无花果。2描述了块对应的数量需要附加到任何额外0 n位消息评估广场和矩形编码。图3描述了情节的冗余比特总数对应广场和矩形代码构造给定任何n位信息。在这两个数字,矩形的代码实现低很多的价值观,对于所有的价值观„nA¢。表1表示一个表格汇总的图2和图3。

注:描述逻辑的扩展描述矩形编码的效率相比,所有其他多维代码格式。

结论

在这篇文章中,我们通过算法、数学和实验证明矩形代码实际上是最„efficientA¢代码。

我们首先讨论建立广场代码的效率的概念,后来指出的稀疏分布完全平方整数概念是有害的。消息转换成其平方代码确实是低效和昂贵的。文章接着提出了建立直观的研究,高效和相对成本效益的矩形的代码。此外,矩形代码继承异常错误处理二维编码系统的潜力。它因此可以正确地得出结论:矩形的代码几乎肯定是最有效的方案来提高现有intra-system数字通信系统的鲁棒性。

进一步研究矩形编码是诱人的,我们在挖掘的过程。

引用

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